我们通常假定这些模拟的概率分布函数是服从正态分布的。但是在岩土工程用于成本预算的各个变量是变化的，这可能并不是一个合理的假设。假定的分布函数对分析结果会产生很大的影响。在多数工程实例中，包括岩土工程，找到用于评估失败概率的时间框架也是很重要的。对于一些重大基础建设的项目，以项目全过程中发生失误的可能性为依据而做的决定是过于保守的。年均失败概率可能在某些情况下更现实。
        失误概率可能与工程师门经常使用的FOS有关。表1显示出了失误概率和Galvin等人编制的用于煤矿工程计算相关数据的FOS的关系。必须记住的是，Pf-FOS关系并不是独一无二的，因为它有时候是假设的，但是它也必须依赖于数据输入、极限条件和每种情况下R和S的分布性质。
        因此，这种简单的概率方法不允许我们可以方便的进行空间变异分析、不确定性分析、事前和事后控制以及设计参数和变量之间存在关联。有许多文献都在讨论以概率为基础的技术在岩土工程中的广泛应用。，而这些方法通常是结合了数值、变形和水流量分析。这里只介绍了最简单的情况，以此来说明概率风险分析的本质。
       
        6、贝叶斯网络和动态贝叶斯网络的定量风险分析
        上面提到的许多复杂的情况都考虑使用了贝叶斯网络（BN）。贝叶斯网络是基于贝叶斯定理或贝叶斯法，而这些是由托马斯·贝叶斯发现的。在其最简单的形式中，贝叶斯定理写为：
        P（A∣B）＝[P（B∣A）·P（A）]／P（B）              （4）
        其中P（A）是指A的概率，P（B）是指B的概率，P（A∣B）和P（B∣A）是条件概率。贝叶斯解释说，概率很重要，这样将这里称为贝叶斯网络，有时也被称为贝叶斯信念网络。一个更复杂的方式表达贝叶斯定理包括一个假说，过去的经验，证据：
        P（H∣E，c）＝P（H∣c）·P（E∣H，c）／P（E∣c）    （5）
        在这里我们可以更新我们的信念，假设H给予额外的证据，E和背景背景或过去的经验，C。左边项P（H | E，C）被称为后验概率。P（H∣c）被称为先验概率。P（E∣H，c）是证据概率。
        图5说明了一个简单的贝叶斯网络的组成，显而易见的是（1）由节点、线路和形成贝叶斯网络的概率表本身组成的因果模型；（2）专业知识的输入；（3）使用过程中推理的决策。
        在岩土工程中，允许随时间更改决策、关系和概率的动态贝叶斯网络是特别有用的。在这种方法中，变量的概率表会随着越来越多的信息而被更新，并且在项目的整个寿命中使用。
        定义和描述贝叶斯网络的方法有很多。正式地说，贝叶斯网络可以被定义为某个域所代表的一组随机变量的联合概率的一个简要图形的表示形式。总结来说，贝叶斯网络可以被概括为：
        （1）是一个图形和数学工具或显示因果关系的组件之间的一个系统；
        （2）在一个系统中为节点表示的变量及他们的之间的关系；
        （3）量化这些优势条件概率；
        （4）允许评估概率不确定性的主观因素；
        （5）允许概率模型（一般为概率表）随时更新；
        （6）结合与问题有关的知识；
        （7）使用不确定性推理理论；
        （8）可以替代故障树和事件树。
        图6说明专家知识的统一概念和数学推理在给定问题领域的贝叶斯网络的应用。
        图7举例说明了一个简单的贝叶斯网络。该箭头从一个到另一个变量反映了所表示的变量之间的关系。例如箭头从C到B1和B2表示C能直接影响B1和B2。为了获得结果或答案，推理是用于计算到网络的问题的答案。
        最常见的两种查询类型是先验概率分布和后验概率分布。先验概率分布的变量可以写为：
        P（A）＝                        （6）
        其中A是查询变量，X 和X 是网络里的尚存变数。这类查询可用于地下开挖的设计阶段，评估某些设计失败的概率。
        给出变量的后验分布证据或意见是通过：
        P（A∣e）＝                 （7）
        其中e是指所有证据的一个向量。这类查询被用来更新变量，尤其是当其他变量被观察的时候。这种形式的查询可用于有关地质、水文或岩土的新信息已经可用的情况下更新地下开挖的失败概率。
        简单但是有效的执行方法是使用方程来计算每一个可能的组合变量的概率，并辨别那些需要取得的结果。已经有好几个算法可以在贝叶斯网络中做近似的推理。其中最常用的精确推理方法是变量消除算法。
        在实践中，决策分析通常被用在整体的风险管理。决策分析是一个已经在各种专业领域被定义的发展的很好的手段。其他的则采用包括层次分析法在内的限制性定义。结合贝叶斯网络的决策分析的详细实例已经被证实。
        图8显示了索萨和爱因斯坦使用的战略决策模型中建筑物的基本构造。在这种情况下，决策模型是基于一个大大简化了的决策图，即贝叶斯网络（如图8中所示），并且扩展到不同的操作进行建模。该模型显示了两个机会节点（地质条件和失效模式），一个决定节点，一个实用节点，这些代表了伴有不同建设策略和公用事业失败的成本总和。该模型基于效用最大化和风险成本最小化来确定最佳产品。
        目前，贝叶斯网络在包括中国在内的世界各地使用，得益于它风险评估和概率分析所涉及的广泛领域，医学、刑事取证、建筑业、项目管理、金融及保险行业等等。在岩土工程与地下工程中，贝叶斯网络已经在大坝、隧道、电力行业等的风险评估和项目管理中广泛应用。
        在岩土工程中更为广泛，随着越来越多的数据在进一步调查或者在施工期间才能得到，贝叶斯网络也许是用来更新概率表、模型参数、分析和设计曲线最常用的方法。我们要认识到贝叶斯网络强大的力量，对此，Christian和Baecher曾说：“为什么我们没有用它将观测方法带到21世纪？”
       
        7、岩土工程的应用
        从笔者的经验来看，风险评估和风险管理技术在地下工程项目中定量分析应用的更为广泛。一般来说，风险记录是不断变化的，它记录了与项目相关的一些潜在的风险因素、每一个风险发生所产生的后果、可能采取的有效措施（见图3）、措施采取后风险继续存在的可能性、以及风险因素之间的相互关系。控制措施采取后风险情况的更新方法将在下面提到。要指出的是与项目相关的风险，比如岩爆、大变形、坍塌、洪水和弱岩，将会被列在这个表格里。风险发生后的结果是对项目产生经济的、非经济的影响，如图2所示。可能性也是根据一段时期的数据假定分析出来的。
        很多组织用这种方法来划分风险等级，而这些等级的划分是基于定量分析的。风险等级可能随着整个项目的发展而更新。典型的量化决策风险和有关的风险管理措施通过E、H、M和L如表2所示。
        正如第5节所说，定量的风险概率分析已经在岩土工程中广泛使用。正如第6节提到的，通过使用BNs和决策分析来量化可能性的方法选择已经在普遍适用。如果不普遍，也是在很多领域，包括地下岩土工程和建筑工程。岩土工程的风险评估和风险管理中，这些方法将会有很大潜力继续被运用。显然，他们也将用于岩土工程项目的投资控制、项目实施和设计、进度控制、成本控制以及整个项目全过程的管理。
        为了更好的适用于岩土工程，Einstein建立的旨在解决自然地质威胁的方法值得结合应用。这个方法运用不确定条件下做出的决定来将项目评估过程规范化。在Einstein的理论里，结合潜在威胁与发生概率来表述危险的。这反过来就是与结果相结合来表述风险R为
        R ＝ P[T]?u（C）                                     （8）
        其中P[T]是指危险的发生概率，u（C）是指风险发生产生的影响。
        事实上，结果都是不确定的，通常叫做漏洞，条件概率，P[C∣T]，因此风险也被表述为：
        R ＝ P[T]? P[C∣T] ?u（C）                            （9）
        假设控制行动和预防措施的结果放在之前讨论的的地方，P[T]变成了P’[T]，消极对策使得漏洞P[C∣T]简化到P’[C∣T]，或者使得影响u（C）简化到u’（C），或者两者同时变化。
        控制措施涉及到产生费用，因此简化的风险为：
        R’ ＝ P’[T]? P[C∣T] ?u（C）＋u（CA）              （10）
        其中u（CA）是费用。
       
        8、结论
        本文旨在基于参考国际文献和结合一些个人经验的基础上提供一个岩土工程风险评估与管理实践的概述。Einstein和Sousa以及他们的伙伴们做出的贡献是特别有信息价值的。这些用于风险分析和评估研究的术语可能会因会因国家而异。概率风险分析可能是岩土工程风险评估中最广泛使用的方法。最后我们的出货的结论是，通过贝叶斯网络的使用和决策分析技术，增加现有的概率方法从而允许不确定性情况下的推理和提高概率、材料性能、和数据分析并在项目建设的全过程中得以使用作为更长远的数据，是存在着巨大的可能的。在中国和其他地方，已经有了这些方法应用于地下挖掘工程的实例，并且他们进一步应用的机会也已经被确定。像这些与工程相关联的岩爆、大变形、坍塌、洪水和弱岩的风险因素建议用这种方法来解决。最后，将这些方法组合应用于Feng和Hudosn创立的岩土工程设计方法中的机会是大大存在的。